PROGRAM Spirale; { Epreuve informatique de l'Ecole Polytechnique 92.031 -------------------------------------------------------------- 1/ Tout point M d'un plan E peut être classiquement repéré par un couple de coordonnées polaires (r,theta) où r est sa distance à l'origine et theta un angle défini modulo Ò . On appelle fonction spirale toute application (r,theta)->phi(r,theta), définie en tout point du plan E qui possède la propriété suivante : tau (1) phi(r.e ,theta) = phi(r,theta+lambda.tau) Chercher une expression canonique de phi(r,theta) . Citer des exemples, des cas particuliers ou limites. Pour limiter la variété des applications numériques, i est conseillé de se restreindre désormais au cas : phi(r,theta) = [Log(r)+theta] mod 2Ò 2/ On appelle spirale le lieu des points M tels que (2) phi(r,theta) = Constante Tracer la spirale définie par : (3) phi(r,theta) = 0 3/ Soit D une droite fixe dans E et t un paramètre. Ecrire un programme Pascal qui dessine l'intersection entre cette droite et la spirale correspondant à l'équation : (4) phi(r,theta) =t 0 <= t < 2Ò Les points d'intersection forment des intervalles sur D. Que peut-on dire de la longueur de ces intervalles ? Calculer le plus petit d'entre eux. 4/ La droite D restant fixée, chercher la valeur de t qui minimise la longueur de ce plus petit intervalle. 5/ Soit M un point fixe de E. Combien de tangentes à la spirale peut-on construire à partir de ce point ? Montrer lorsque t varie que la spirale "tourne sur elle- même" et que le lieu des points de tangence est une courbe facile à tracer. -=-=- } uses crt, modubase; Const pas=0.1; zoom=1.2; Type Points = record rho,theta :real; end; angle = real; VAR Lambda : real; t0 : real; Ch : char; Function spi(theta:angle):real; begin spi:=exp((t0-theta)/lambda); end; Function Ecart(theta,thetaD:angle;rD:real):real; begin Ecart:=rD-spi(theta)*cos(theta-thetaD); end; Procedure Genere(VAR M:points;theta:angle); begin M.theta:=theta; M.rho:=spi(theta); end; Procedure Joindre(M1,M2:points); begin with M1 do Deplace(rho*cos(theta),rho*sin(theta)); with M2 do Trace (rho*cos(theta),rho*sin(theta)); end ; Procedure TraceSpirale; Const pas=0.1; zoom=1; Var M1,M2,M3,M4 : points; begin Genere(M1,0); M2:=M1; repeat M3:=M1; Genere(M1,M1.theta+pas); Joindre(M1,M3); M4:=M2; Genere(M2,M2.theta-pas); Joindre(M2,M4); until M1.rho<0.00001; end; Procedure TracePoint(M:Points); begin With M do Croix(rho*cos(theta),rho*sin(theta)); end; Procedure TraceDroite(rD:real;thetaD:angle); Var M1,M2,M3,M4: points; begin with M1 do begin rho:=rD; theta :=ThetaD; end; M2:=M1; repeat M3:=M1; with M1 do begin theta:=theta+pas; if cos(theta-thetaD)<>0 then rho:=rD/cos(theta-thetaD); end; joindre(M1,M3); M4:=M2; with M2 do begin theta:=theta-pas; if cos(theta-thetaD)<>0 then rho:=rD/cos(theta-thetaD); end; joindre(M2,M4); until M1.theta-thetaD>=(pi/2-pas); end; Function Intervalle(rD:real;thetaD:angle;VAR Contact:Points):real; Cons pas = 0.01; var theta,theta1,theta2 : angle; begin theta:=t0-Ln(rD); repeat theta:=theta-pas; until Ecart(theta,thetaD,rD)<0; theta1:=theta; repeat theta:=theta-pas; until Ecart(theta,thetaD,rD)>0; theta2:=theta; Genere(Contact,theta); Intervalle := sqrt( sqr(spi(theta1))+sqr(spi(theta2)) - 2*spi(theta1)*spi(theta2)*cos(theta1-theta2) ); end Procedure Init; begin Initgraphique; IsoFenetre(-zoom,zoom,-zoom*0.6); Modetexte; end; Procedure Presentation; begin; Modetexte; Efface; WriteLN(' ======= La Spirale ========'); WriteLN(' '); WriteLN(' '); WriteLN(' '); WriteLN(' (1) Question 1 '); WriteLN(' (2) Question 2 '); WriteLN(' (3) Question 3 '); WriteLN(' (4) Question 4 '); WriteLN(' (5) Question 5 '); WriteLN(' '); WriteLN(' Tapez votre choix '); WriteLN(' '); WriteLN(' '); end; Procedure Question1; begin Efface; Writeln('+---------------------- Question n°1 -------------------------------+'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ Expression canonique : phi(M)=F(h(rho,theta)) ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ où F(x) est une application quelconque de 0<=x<2Ò ¦'); Writeln('¦ et h(rho,theta)=[lambda.Log(rho)+theta] mod 2Ò ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ Exemple : ¦'); Writeln('¦ phi(rho,theta)=[lambda.Log(rho)+theta] mod (2Ò/k) ¦'); Writeln('¦ où lambda est réel, et k>0 entier ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ Cas particuliers : ¦'); Writeln('¦ phi(rho,theta)=1 : le plan E entier ¦'); Writeln('¦ phi(rho,theta)=theta: Une droite passant par O ¦'); Writeln('¦ Cas limite : ¦'); Writeln('¦ phi(rho,theta)=rho : Un cercle de centre O ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('+-------------------------------------------------------------------+'); end; Procedure Question2; begin Efface; Writeln('+---------------------- Question n°2 -------------------------------+'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ La spirale s''obtient par : ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ -theta ¦'); Writeln('¦ rho = e ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('+-------------------------------------------------------------------+'); Pause; Lambda:=1; t0:=0; ModeGraphique; TraceSpirale; end; Procedure Question3; var rD : real; thetaD , Theta : angle; M :Points; begin Efface; Writeln('+---------------------- Question n°3 -------------------------------+'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ La spirale découpe sur D des intervalles croissants : ¦'); Writeln('¦ de part et d''autre d''un intervalle central ¦'); Writeln('¦ L''équation de D s''écrit : ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ rho:= rD/cos(theta-thetaD)=droite(theta) ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ On fait varier theta de theta0 à -l''infini où ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ theta0=-Log(rD) ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ en cherchant les deux premières valeurs de theta telles que : ¦'); Writeln('¦ l''écart : rD-cos(theta-thetaD).exp(-theta) soit nul ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('+-------------------------------------------------------------------+'); Writeln('Entrez les valeurs de rD et de ThetaD :'); { Write('rD=');readln(rD); Write('thetaD=');readln(thetaD); } rD:=1/4;ThetaD :=1.7; Pause; Lambda:=1; t0:=0; ModeGraphique; TraceSpirale; TraceDroite(rD,ThetaD); Deplace(-zoom,zoom/2); Ecris('premier intervalle='); EcrisReel(Intervalle(rD,ThetaD,M)); end; Procedure Question4; var rD : real; thetaD,Theta : angle; t1,t2,i1,i2 : real; temp : real; M : Points; begin Efface; Writeln('+---------------------- Question n°4 -------------------------------+'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ On fait varier t0 ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ Par extrapolations Newton, on cherche la tangente ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('+-------------------------------------------------------------------+'); Writeln('Entrez les valeurs de rD et de ThetaD :'); { Write('rD=');readln(rD); Write('thetaD=');readln(thetaD); } rD:=1/4;ThetaD :=1.7; Writeln('Entrez le pas de calcul :'); { Write('pas=');readln(pas); } Pause; Lambda:=1; t1:=0; t2:=-0.1; ModeGraphique; Couleur(Brillant); M.rho:=0; Couleur(Vert); TracePoint(M); TraceDroite(rD,ThetaD); Repeat t0:=t2;i2:=Intervalle(rD,ThetaD,M); t0:=t1;i1:=Intervalle(rD,ThetaD,M) ; Deplace(-zoom,0.7);Ecris('t1=');EcrisReel(t1); Ecris(' i1=');Ecrisreel(i1); Deplace(-zoom,0.6);Ecris('t2=');EcrisReel(t2); Ecris(' i2=');Ecrisreel(i2); if i2>i1 then begin t2:=(t1+t2)/2; end else begin temp:=t2; t2:=t2*2-t1; t1:=temp; end; until abs(t2-t1)<0.01; Couleur(Magenta); TracePoint(M); Couleur(-Brillant); TraceSpirale; end; Procedure Question5; var rM : real; ThetaM : angle; rD : real; ThetaD,t1,t2,temp,Theta : angle; pas : real; i1,i2 : real; x1,x2,y1,y2 :real; M1,M2 : points; begin Efface; Writeln('+---------------------- Question n°5 -------------------------------+'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ On abaisse les tangentes à la Spirale : ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('¦ et on voit que le lieu des points de contacts quand ¦'); Writeln('¦ la spirale tourne est un cercle, ce qui s''explique ¦'); Writeln('¦ par le fait que la spirale logarithmique coupe les ¦'); Writeln('¦ rayons selon un angle constant. ¦'); Writeln('¦ ¦'); Writeln('+-------------------------------------------------------------------+'); Writeln('Entrez les valeurs de rM et de ThetaM :'); { Write('rM=');readln(rM); Write('thetaM=');readln(thetaM); } rM:=0.4;ThetaM :=0.2; Writeln('Entrez le pas de calcul :'); { Write('pas=');readln(pas); } pas:=0.2; Lambda:=1; ModeGraphique; Couleur(Rouge); M1.rho:=rM; M1.theta:=ThetaM; TracePoint(M1); ThetaD:=0; M2.rho:=0; Couleur(Vert); TracePoint(M2); Repeat ThetaD :=ThetaD+pas; rD:= rM*cos(ThetaD-ThetaM); Couleur(-Jaune); TraceDroite(rD,ThetaD); t1:=0; t2:=-0.1; repeat t0:=t2;i2:=Intervalle(rD,ThetaD,M1); t0:=t1;i1:=Intervalle(rD,ThetaD,M1); Deplace(-zoom,0.5);Ecris('t1=');EcrisReel(t1); Ecris(' i1=');EcrisReel(i1); Deplace(-zoom,0.4);Ecris('t2=');EcrisReel(t2); Ecris(' i2=');EcrisReel(i2); if i2>i1 then begin t2:=(t1+t2)/2; end else begin temp:=t2; t2:=t2*2-t1; t1:=temp; end; until abs(t2-t1)<0.003; Couleur(Magenta); TracePoint(M1); Couleur(Vert); if M2.rho>0 then Joindre(M1,M2); Couleur(Magenta); TracePoint(M1); M2:=M1; Couleur(-Brillant); TraceSpirale; Couleur(-Jaune); TraceDroite(rD,ThetaD); TraceSpirale; until ThetaD>2*pi; end; { Bloc principal } begin Init; Repeat Presentation; Ch:= ReadKey; case ch of '1': Question1; '2': Question2; '3' : Question3; '4' : Question4; '5' : Question5; end; Pause; until false;