program ep95-303.pas; { Epreuve informatique de l'Ecole Polytechnique 95.303 -------------------------------------------------------------- On considère dans le plan euclidien un quadrilatère ABCD déformable dont les quatre côtés ont des longueurs fixes : AB=a, BC=b CD=c DA=d Soient x et y les longueurs des deux diagonales : x=AC y=BD [FIGURE] 1/ Quelle condition nécessaire et suffisante les paramètres a, b, c et d doivent-ils satisfaire pour que la construction de la figure soit possible ? 2/ Montrer qu'il existe une relation entre les six quantités a, b, c, d, x et y. 3/ Les paramètres a, b, c et d étant supposés fixés, représenter la relation qui lie x et y dans un repère cartésien Oxy et la tracer à l'aide de l'ordinateur. Commenter les différents cas de figure obtenus selon les valeurs des paramètres. (Application numérique suggérée : a=13, b=11, c=8, d=9) 4/ Chercher des cas de figure non triviaux tels que les six longueurs a, b, c, d, x et y s'expriment toutes par des nombres entiers. :--------------------------------------------------------------: : Imprimer tous les résultats : : en indiquant chaque fois à quoi ils correspondent : :--------------------------------------------------------------: -=-=-=- } uses modubase, crt, printer; const maxn=10; type Myint=Longint; Myreal = Double; Distance1=myreal; Distance2=myreal; Distance3=myreal; Distance4=myreal; Distance6=myreal; Distance8=myreal; Distance9=myreal; Distance10=myreal; Angle=MyReal; matrice=array[1..maxn,1..maxn] of real; Points =record x,y:Distance1; t:string end; var ch:char; n:integer; a,b,c,d,x,y1,y2,y1a,y2a,y:Distance1; c1,c2,c3:points; procedure Comparer(s:string;x,y:Myreal); var ecart:real; const eps=0.01; begin Ecris(s+' '); ecart:=abs(x-y)/max(eps,max(abs(x),abs(y))) if ecart=0) and (x2<>0) then begin u:=sqrt(disc); v:=(-q1+u)/(2*x2); if v>0 then y1:=sqrt(v); v:=(-q1-u)/(2*x2); if v>0 then y2:=sqrt(v); end end; procedure Mouvement(a,b,c,d:Distance1); var PA,PB,PC,PD,PC1,PD1:Points; a2,b2,c2,d2:Distance2; x,y,dx,ech,x1,y1:Distance1; possible,possible1:boolean; alpha,dalpha:angle; signe:integer; h,k:real; procedure calculer; var cosa,sina,cosb,sinb:real; p:Distance2; q:Distance3; r:Distance4; disc:Distance8; x2,y2:Distance2; begin possible:=false; cosa:=cos(alpha); sina:=sin(alpha); NewPoint(PC,'C',a-b*cosa,b*sina); x2:=a2+b2-2*a*b*cosa; p:=4*x2; q:=4*(a-b*cosa)*(c2-d2-x2); r:=sqr(x2+d2-c2)-4*b2*d2*(1-cosa*cosa); disc:=sqr(q)-4*p*r; if (disc>=0) and (abs(p)<>1E-6)then begin cosb:=(-q+signe*sqrt(disc))/(2*p*d); if abs(cosb)<=1 then begin possible:=true; sinb:=sqrt(1-cosb*cosb); y2:=a2+d2-2*a*d*cosb; x1:=x; y1:=y; x:=sqrt(x2); y:=sqrt(y2); if possible1 then begin Couleur(Jaune); Deplace(x1,y1); Trace(x,y); end; NewPoint(PD,'D', d*cosb,d*sinb); { At this step, there is an uncertainty about the sign of sinb } if abs(distance(PC,PD)-c)>0.001 then NewPoint(PD,'D', d*cosb,-d*sinb); Deplace(k,h*0.90);Ecris('BC=');EcrisReel(distance(PB,PC)); Ecris(' CD=');EcrisReel(distance(PC,PD)); Ecris(' DA=');EcrisReel(distance(PA,PD)); Deplace(k,h*0.85);Ecris('x=');EcrisReel(x); Ecris(' y=');EcrisReel(y); end; end; end; begin a2:=a*a; b2:=b*b; c2:=c*c; d2:=d*d; ModeGraphique; ech:=max(max(max(a,b),c),d); Isofenetre(-ech,2*ech,-ech/2); Couleur(Vert); x_axe(0,0,1); Y_axe(0,0,1); Couleur(Brillant); h:=ech*1.5; k:=-1; Deplace(k,h*1.0);Ecris('Calculer abcd='); Ecrisreel(a); Ecrisreel(b); Ecrisreel(c); Ecrisreel(d); NewPoint(PA,'A',0,0);MontrePoint(PA); NewPoint(PB,'B',a,0);MontrePoint(PB); PC:=PB;PD:=PA; {to avoid overflow} MontreSegment(PA,PB); possible:=false; alpha:=4*pi; dalpha:=0.01; repeat if alpha>2*pi then signe:=-1 else signe:=1; possible1:=possible; PC1:=PC; PD1:=PD; alpha:=alpha-dalpha; Calculer; Couleur(-brillant); Croix(PC1.x,PC1.y); Croix(PC.x,PC.y); if possible1 then begin MontreSegment(PA,PD1); MontreSegment(PB,PC1); MontreSegment(PC1,PD1); end; if possible then begin MontreSegment(PA,PD); MontreSegment(PB,PC); MontreSegment(PC,PD); end; until alpha<0; Pause; end; procedure Question_1; var a,b,c,d,x:Distance1; procedure Tester(a,b,c,d,x:Distance1); var y1,y2:Distance1; begin WriteLN('a= b= c= d= x= y1= y2='); Calcule(a*a,b*b,c*c,d*d,x,y1,y2); WriteLN(a:6:3,b:6:3,c:6:3,d:6:3,x:6:3,y1:8:3,y2:8:3); end; begin Repeat Efface; WriteLN(' (1) Calcul pour a=1, b=4, c=3, d=3 , x=4 '); WriteLN(' (2) Calcul pour a=5, b=5, c=5, d=5 , x=6 '); WriteLN(' (3) Calcul pour a,b,c,d,x quelconques'); WriteLN(' '); Write(' Tapez votre Choix : '); Read(Ch); case ch of '1': Tester(1,4,3,3,4); '2': Tester(5,5,5,5,6); '3': begin Write('Entrez a=');Read(a); Write('Entrez b=');Read(b); Write('Entrez c=');Read(c); Write('Entrez d=');Read(d); Write('Entrez x=');Read(x); Tester(a,b,c,d,x); end; '0' : Halt end; {esac} Pause; until false; end; procedure Question_2; begin Efface; WriteLN(' Equation XY²+UY+V=0 '); WriteLN(' U=(X-A-B-C-D)X+(A-B)(D-C) '); WriteLN(' V=(Q-D)(B-C)X+(AC-BD)(A-B+C-D) '); Pause; Repeat ModeTexte; Efface; WriteLN(' (1) Tracé pour a=1, b=1, c=1, d=1 '); WriteLN(' (2) Tracé pour a=4, b=3, c=2, d=1 '); WriteLN(' (3) Tracé pour a=4, b=2, c=2, d=1 '); WriteLN(' (4) Tracé pour a=4, b=4, c=2, d=1 '); WriteLN(' (5) Tracé pour a=4, b=1, c=4, d=2 '); WriteLN(' (6) Tracé pour a=4, b=1, c=4, d=4 '); WriteLN(' (7) Tracé pour a=2, b=3, c=4, d=5 '); WriteLN(' (8) Tracé pour a=13, b=12, c=11, d=8 '); WriteLN(' (9) Tracé pour a,b,c,d quelconques '); WriteLN(' '); Write(' Tapez votre Choix : '); Read(Ch); case ch of '1': Mouvement(1,1,1,1); '2': Mouvement(4,3,2,1); '3': Mouvement(4,2,2,1); '4': Mouvement(4,4,2,1); '5': Mouvement(4,1,4,2); '6': Mouvement(4,1,4,4); '7': Mouvement(2,3,4,5); '8': Mouvement(13,12,11,8); '9': begin Write('Entrez a=');Read(a); Write('Entrez b=');Read(b); Write('Entrez c=');Read(c); Write('Entrez d=');Read(d); Mouvement(a,b,c,d); end; '0' : Halt end; until false; end; Procedure Question_3; const prt=false; var a,b,c,d,x,y:Integer; a2,b2,c2,d2,x2,y2:integer; h:Double; df:text; function entier(x:Distance1):boolean; begin entier := abs(x-round(x))<0.000001; end; procedure try(y:Distance1); begin if entier(y) then if (y>0)then if not( (x<=abs(a-b)) or (x>=(a+b)) or (x<=abs(c-d)) or (x>=(c+d)) or (round(y)<=abs(a-d)) or (round(y)>=(a+d)) or (round(y)<=abs(b-c)) or(round(y)>=(b+c) )) then begin WriteLN; Write(a:6,b:6,c:6,d:6,x:6,y:6:0); WriteLN(df); Write(df,' ',a:6,b:6,c:6,d:6,x:6,y:6:0); end; end; begin Efface; assign(df,'resultats.txt'); rewrite(df); WriteLN(' AB= BC= CD= DA= AC= BD='); WriteLN(df,' AB= BC= CD= DA= AC= BD='); for a:=3 to 1000 do begin write('.'); for b:=1 to a do for c:=1 to a do for d:=round(max(c,a-b-c+1)) to a do begin a2:=a*a; b2:=b*b; c2:=c*c; d2:=d*d; for x:=1 to (a+b+c+d) div 2 do for y:=1 to (a+b+c+d) div 2 do if not( (x<=abs(a-b)) or (x>=(a+b)) or (x<=abs(c-d)) or (x>=(c+d)) or (y<=abs(a-d)) or (y>=(a+d)) or (y<=abs(b-c)) or(y>=(b+c) )) then begin x2:=x*x; y2:=y*y; h:=x2*y2*(x2+y2-a2-b2-c2-d2) +(a2-d2)*(b2-c2)*x2 +(a2-b2)*(d2-c2)*y2 +(a2*c2-b2*d2)*(a2-b2+c2-d2); if abs(h)<0.5 then begin WriteLN; Write(a:6,b:6,c:6,d:6,x:6,y:6); WriteLN(df); Write(df,' ',a:6,b:6,c:6,d:6,x:6,y:6); PAuse; end; end; end; end; end; Procedure Presentation; begin; Efface; WriteLN(' ====== Diagonales d''un quadrilatère deformable========='); WriteLN(' '); WriteLN(' '); WriteLN(' (1) Calcul de y connaissant a,b,c,d,x'); WriteLN(' (2) Deformation du quadrilatère '); WriteLN(' (3) Recherche de valeurs entières '); WriteLN(' '); Write(' Tapez votre Choix : '); end; begin Randomize; InitGraphique; repeat ModeTexte; Presentation; Read(Ch); case ch of '1': Question_1; '2': Question_2; '3': Question_3; '0' : Halt end; until false; end.